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ただのテキストファイルのようだ

xy平面の図形を極座標上に変換した時の変域の話

備忘録 大学受験

mathjaxを使ってみたかった。
多分正しいと思うんだけど。

xとyの式によって表された図形を、{ x = r \cos \theta , y = r \sin \theta }によって極座標(r,θ)に変換したとき、{ r \geq 0 , 0 \leq \theta < 2 \pi }と勝手にしても図形は変わらない話。




元の式が{ F(x,y) = 0 }で表されたならば、変換によって{ F(r \cos \theta, r \sin \theta) = 0}となる。
明らかにθに関してこの方程式は2πの周期を持つ(という表現は正しいのか?)ので{ 0 \leq \theta < 2 \pi }として図形が変わらないことが言える。
続けて、ある(-r,θ)が式を満たしたとすると、
{ F(-r \cos \theta, -r \sin \theta ) = 0}より
{ F(r \cos(\theta \pm \pi), r \sin(\theta \pm \pi)) = 0}となるので、
(r, θ±π)も式を満たす。
教科書によると極座標、というか極方程式の定義で、r<0のときの点は(|r|, θ+π)の位置に取るので、(-r,θ)と(r,θ±π)は結局一致する。
{0 \leq \theta < 2 \pi}に収まるように複号のいずれかを適当に選んでやることをすれば、図形は{ r \geq 0 }としても不変といえる。


書けば書くほど自明に思われて仕方がねぇ。
ミスがあったらツッコミをお願いします。

何が嬉しいかって第n象限での議論が{r > 0, \frac{n-1}{2} \pi < \theta < \frac{n}{2} \pi}で済むところ。