xy平面の図形を極座標上に変換した時の変域の話

mathjaxを使ってみたかった。
多分正しいと思うんだけど。

xとyの式によって表された図形を、 ${ x = r \cos \theta , y = r \sin \theta }$ によって極座標(r,θ)に変換したとき、 ${ r \geq 0 , 0 \leq \theta < 2 \pi }$ と勝手にしても図形は変わらない話。

元の式が ${ F(x,y) = 0 }$ で表されたならば、変換によって ${ F(r \cos \theta, r \sin \theta) = 0}$ となる。
明らかにθに関してこの方程式は2πの周期を持つ(という表現は正しいのか？)ので ${ 0 \leq \theta < 2 \pi }$ として図形が変わらないことが言える。
続けて、ある(-r,θ)が式を満たしたとすると、
${ F(-r \cos \theta, -r \sin \theta ) = 0}$ より
${ F(r \cos(\theta \pm \pi), r \sin(\theta \pm \pi)) = 0}$ となるので、
(r, θ±π)も式を満たす。
教科書によると極座標、というか極方程式の定義で、r<0のときの点は(|r|, θ+π)の位置に取るので、(-r,θ)と(r,θ±π)は結局一致する。
${0 \leq \theta < 2 \pi}$ に収まるように複号のいずれかを適当に選んでやることをすれば、図形は ${ r \geq 0 }$ としても不変といえる。